اقترح الفيلسوف اليوناني زينون الإيلي المفارقة التالية: إن «أخيل» لن يلحق السلحفاة التي تتقدمه، لأن عليه قبل ذلك أن يصل إلى المكان الذي انطلقت منه السلحفاة، وعندما يصل إلى هذا المكان تكون السلحفاة قد تركت ذلك المكان وتقدمت وهكذا ...، تظل السلحفاة دائما أمام «أخيل».

 لنتخيل مثلا أن «أخيل» يريد أن يقطع مسافة AB طولها 1.

قبل أن يقطع هذه المسافة عليه أولا قطع نصف المسافة AB، ولكي يقطع المسافة المتبقية CD عليه أن يقطع نصفها، أي ربع المسافة AB. ولكي يقطع المسافة المتبقية DB عليه أن يقطع نصفها، أي ثمن المسافة AB... وهكذا نحصل على متتالية غير منتهية حدها العامu_n=½ⁿ .

وبما أنه يتوجب على «أخيل» أن يقطع ما لا نهاية من المسافات فإنه لن يستطيع الوصول إلى نقطة النهاية. 

إذا طرحت المسألة بهذا الشكل فإن المشكلة تبدوا وكأنها تكمن فقط في المسافات غير المنتهية المتراكمة قرب نقطة النهاية. لكن المشكلة التي سيواجهها «أخيل» في المسافات القريبة من نقطة النهاية سيواجهها أيضا منذ البداية وبالتالي فإنه لن يكون بمقدوره التحرك من مكانه أصلا. فلكي يقطع «أخيل» نصف المسافة AC عليه أولا أن يقطع نصفها AG، وقبل ذلك عليه أن يقطع نصف المسافة AG. وهكذا نحصل أيضا على متتالية غير منتهية من المسافات التي يتوجب على «أخيل» قطعها قبل أن يقطع أية مسافة مهما كانت صغيرة، وبالتالي فإنه لن يكون بمقدوره أن يغادر نقطة الانطلاق.

    لقد حاول العديد من الفلاسفة والعلماء حل هذه المفارقة، لكنهم لم يتمكنوا من حلها بطريقة مقبولة ومقنعة إلا بعد مرور مئات الأعوام وظهور مفاهيم رياضية جديدة لم تكن موجودة في عصر زينون كالعدد 0 واللانهاية وكذلك مفهوم النهايات الذي سيأتي بحل مقنع لهذه الإشكالية، حيث إن مجموع عدد غير منته لحدود متتالية يمكن أن يكون منتهيا.

 فإذا اعتبرنا المتتالية المعرفة بحدها العام u_n=½ⁿ، فإن أعدادها تزداد صغرا وتقترب أكثر فأكثر من العدد 0 وإذا جمعنا هذه الأعداد غير المنتهية كلها نحصل على العدد 1 فقط !! .

Achille et la tortue
Achille aux pieds ailés est considéré comme l'homme le plus rapide à l'opposé de la tortue animal particulièrement lent sur terre. Les deux font une course. Un avantage est donné à la tortue, aussi petit soit-il.

Ainsi, Achille devra d'abord arriver au point d'où est partie la tortue. Quand Achille est à l'endroit où se trouve la tortue au moment du départ, elle a elle-même avancé.
Lorsque Achille atteint ce nouvel endroit, la tortue est déjà un peu plus loin et ainsi de suite...
Il ne la rattrape donc jamais car le processus se répète Indéfiniment !!!!