·        التمرين الأول

             لتكن $f$ دالة عددية متصلة على قطعة $\left[a,b\right]$ ، و ليكن $\alpha$ و $\beta$ عنصرين من ${ℝ}^{+}$ .

o       بين أن: $\exists c\in \left[a,b\right]/\alpha f\left(a\right)+\beta f\left(b\right)=\left(\alpha +\beta \right)f\left(c\right)$.

·        التمرين الثاني

           لتكن $f$ دالة عددية متصلة على القطعة $\left[\mathrm{0,1}\right]$.

o       بين أن : $\exists c\in \left[\mathrm{0,1}\right]/f\left(c\right)=\frac{1}{c}+\frac{1}{c-1}$.

·        التمرين الثالث

             لتكن $f$ الدالة العددية المعرفة على $ℝ$ بما يلي: $f(x)=\{\begin{array}{l}{x}^{2}E\left(\frac{1}{x}\right),x\ne 0\\ f\left(0\right)=0\end{array}$        

       حيث $E\left(x\right)$ هو الجزء الصحيح للعدد الحقيقي $x$.

o       بين أن الدالة $f$ متصلة في الصفر.

·        التمرين الرابع

              أحسب النهايات التالية:

           i)- $\underset{x\to +\infty }{\lim }x\left(1-\cos \frac{1}{\sqrt{x}}\right)$        ii)- $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[4]{x}}{x-1}$       iii)- $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt[n]{x}-1}{x-1}$  ، $\left(n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right)$   .

·        التمرين الخامس

      لتكن $f$ دالة عددية متصلة على المجال $\left[a,b\right]$ و قابلة للاشتقاق على $\left]a,b\right[$.

1)- بين أنه إذا كان $f\left(a\right)=f\left(b\right)$ فإنه يوجد $c$ من المجال $\left]a,b\right[$ بحيث $f\text{'}\left(c\right)=0$.

( هذه النتيجة تسمى مبرهنة رول:Théorème de Rolle)

2)- نعتبر الدالة $g$ المعرفة على المجال $\left[a,b\right]$ بما يلي:   

              $\forall x\in \left[a,b\right],g\left(x\right)=f\left(x\right)-f\left(a\right)-\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\left(x-a\right)$

أ‌-       تحقق من أن $g\left(a\right)=g\left(b\right)=0$.

ب‌-    بتطبيق السؤال الأول على الدالة $g$ استنتج أنه يوجد عنصر $c$ من المجال $\left]a,b\right[$ بحيث: $f\left(b\right)-f\left(a\right)=\left(b-a\right)f\text{'}\left(c\right)$. 

(هذه النتيجة تسمى مبرهنة التزايدات المنتهية: Théorème des accroissements finis)

 

ملحوظة: يرجع يوم الثلاثاء 04 نونبر  2008