suites

مثال2

لتكن $(u_{n})$ المتتالية العددية المعرفة بما يلي: $u_{0} = 2$ و $\forall n \in ℕ, u_{n + 1} = \sqrt{u_{n} + 6}$ .

1)- مثل مبيانيا الدالة $f$ المعرفة على المجال $[- 6, + \infty [$ بما يلي : $f (x) = \sqrt{x + 6}$ .

2)- نعتبر المجال $I = [0,3]$ .

أ- بين أن $u_{0} \in I$ و أن $f (I) \subset I$ .

ب- بين أن المتتالية ${(u_{n})}_{n}$ تزايدية و مكبورة ثم استنتج أنها متقاربة.

3)-أ- حل في المجال $I$ المعادلة $f (x) = x$ .

ب- استنتج نهاية المتتالية ${(u_{n})}_{n}$ .

تمرين

نعتبر المتتالية العددية ${(u_{n})}_{n}$ المعرفة بحدها الأول $u_{0} = 2$ والعلاقة $\forall n \in ℕ, u_{n + 1} = \frac{1}{2} (u_{n} + \frac{2}{u_{n}})$ .

v دراسة المتتالية ${(u_{n})}_{n}$ باستعمال الدالة $f$

نعتبر الدالة العددية $f$ للمتغير الحقيقي $x$ المعرفة على $ℝ^{*}$ بما يلي :

$\forall x \in ℝ^{*}, f (x) = \frac{1}{2} (x + \frac{2}{x})$ ،وليكن المجال $I = [\sqrt{2},2]$ .

1)- بين أن الدالة $f$ تزايدية قطعا على المجال $[\sqrt{2}, + \infty [$

2)- حل في المجال $] 0, + \infty [$ المعادلة : $f (x) = x$ .

3)- أ- بين أن : $f (I) \subset I$ .

ب- برهن بالترجع أن : $\forall n \in ℕ, u_{n} \in I$ .

ج- أدرس رتابة المتتالية ${(u_{n})}_{n}$ .

د- استنتج أن المتتالية ${(u_{n})}_{n}$ متقاربة ثم أحسب $\lim_{x \to + \infty} u_{n}$ .

ملاحظة : المتتالية ${(u_{n})}_{n}$ هي متتالية أعداد جذرية تؤول إلى عدد غير جذري.

تمرين

نعتبر الدالة العددية $f$ للمتغير الحقيقي $x$ المعرفة على $ℝ$ بما يلي : $\forall x \in ℝ, f (x) = \frac{x}{2 + x^{2}}$ .

لتكن ${(u_{n})}_{n}$ المتتالية المعرفة بما يلي: $u_{0} = 1$ و $\forall n \in ℕ, u_{n + 1} = f (u_{n})$ . نضع $I = [0, \sqrt{2}]$

v استعمال الدالة $f$ لدراسة المتتالية ${(u_{n})}_{n}$

1) - حل في $ℝ$ المعادلة : $f (x) = x$ .

2) - أ $-$ أحسب $f' (x)$ لكل $x$ من $ℝ$ .

ب $-$ بين أن $f$ تزايدية قطعا على $[0, \sqrt{2}]$ و تناقصية قطعا على $[\sqrt{2}, + \infty [$ .

ج $-$ أعط جدول تغيرات $f$ على $ℝ$ ( لاحظ أن $f$ دالة فردية ).

3 ) - أ $-$ بين أن : $f (I) \subset I$ .

ب $-$ بين بالترجع أن : $\forall n \in ℕ, u_{n} \in I$ .

ج $-$ باستعمال تغيرات الدالة $f$ أثبت أن ${(u_{n})}_{n}$ تناقصية قطعا ثم استنتج أن ${(u_{n})}_{n}$ متقاربة .

د $-$ أحسب نهاية المتتالية ${(u_{n})}_{n}$ عندما يؤول $n$ إلى $+ \infty$ .

تمرين

لتكن $(u_{n})$ المتتالية العددية المعرفة بما يلي: $u_{0} = 2$ و $u_{n + 1} = \frac{1}{5} (u_{n} - 4 n - 1)$ ، لكل $n$ من $ℕ$ .

نضع : $v_{n} = u_{n} + n - 1$ ، لكل $n$ من $ℕ$ .

1) $-$ بين أن $(v_{n})$ متتالية هندسية أساسها $\frac{1}{5}$ .

2) $-$ أ- أحسب $v_{n}$ بدلالة $n$ .

ب - استنتج $u_{n}$ بدلالة $n$ ثم أحسب $\lim_{x \to + \infty} u_{n}$ .

3) $-$ نضع : $T_{n} = v_{0} + v_{1} + .... + v_{n}$ و $S_{n} = u_{0} + u_{1} + .... + u_{n}$ حيث $n$ عنصر من $ℕ$ .

بين أن : $T_{n} = \frac{1}{4} (5 - \frac{1}{5^{n}})$ و أن : $S_{n} = T_{n} - \frac{(n + 1) (n - 2)}{2}$ .

IV)- متتاليتان متحاديتان:suites adjacentes

تعريف

نقول إن متتاليتين $(u_{n})$ و $(v_{n})$ متحاديتان إذا كانت إحداهما تزايدية و الأخرى تناقصية

و كانت $\lim_{n \to + \infty} (u_{n} - v_{n}) = 0$ .

أمثلة

v $u_{n} = \frac{1}{n}, \forall n \in ℕ^{*}$ و $v_{n} = \frac{- 2}{n}, \forall n \in ℕ^{*}$

v $\forall n \in ℕ, u_{n} = \sum_{k = 1}^{k = n} \frac{1}{k!}$ و $\forall n \in ℕ, v_{n} = \frac{1}{n!} + u_{n}$

خاصية

إذا كانت $(u_{n})$ و $(v_{n})$ متتاليتين متحاديتين فإنهما متقاربتان و لهما نفس النهاية

برهان

نفترض أن $(u_{n})$ تناقصية و $(v_{n})$ تزايدية و $\lim_{n \to + \infty} (u_{n} - v_{n}) = 0$

نضع $w_{n} = u_{n} - v_{n}$ لكل $n$ من $ℕ$ .

لدينا: $w_{n + 1} - w_{n} = (u_{n + 1} - v_{n + 1}) - (u_{n} - v_{n})$

$= (u_{n + 1} - u_{n}) - (v_{n + 1} - v_{n}) \leq 0$ لأن $(u_{n})$ تناقصية و $(v_{n})$ تزايدية

و منه المتتالية $(w_{n})$ تناقصية . و بما أن $\lim_{n \to + \infty} w_{n} = 0$ فإن $\forall n \in ℕ, w_{n} \geq 0$ .

و بالتالي: $\forall n \in ℕ, v_{0} \leq ... v_{n} \leq u_{n} \leq ... \leq u_{0}$

إذن $(u_{n})$ تناقصية و مصغورة بالعدد $v_{0}$ ومنه $(u_{n})$ متقاربة

و $(v_{n})$ تزايدية و مكبورة بالعدد $u_{0}$ ومنه $(v_{n})$ متقاربة

و بما أن $\lim_{n \to + \infty} (u_{n} - v_{n}) = 0$ فإن $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = \lim_{n \to + \infty} v_{n}$

تمرين

لنكن $(u_{n})$ و $(x_{n})$ و $(y_{n})$ المتتاليات المعرفة بما يلي:

$\forall n \in ℕ, u_{n} = \sum_{k = 0}^{k = n} \frac{{(- 1)}^{k}}{(2 k)!}$ و $\forall n \in ℕ, x_{n} = u_{2 n}$ و $\forall n \in ℕ, y_{n} = u_{2 n + 1}$ .

1)- بين أن $(x_{n})$ و $(y_{n})$ متتاليتان متحاديتان.

2)- استنتج أن المتتالية $(u_{n})$ متقاربة