المعادلات التفاضلية

I)- عموميات

تعريف ومصطلحات

· كل معادلة يكون فيها المجهول دالة وتحتوي على مشتقة أو مشتقات هذه الدالة تسمى معادلة تفاضلية

· يرمز عادة إلى الدالة المجهولة بالرمز $y$ ويقصد به، الدالة $y : x \mapsto y (x)$ .

· تحديد حل هذه المعادلة (تكامل هذه المعادلة) يعني تحديد جميع الدوال $y$ التي تحقق هذه المعادلة.

· مجموعة هذه الحلول تسمى أيضا الحل العام أو تكامل المعادلة التفاضلية.

· كل عنصر من هذه المجموعة يسمى حلا خاصا للمعادلة التفاضلية.

مثال

· المعادلة $y^{'} = 1$ هي معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى مجهولها هو الدالة $y$ .

· الدالة $y_{0} : x \mapsto x$ حل خاص لهذة المعادلة.

· الدوال $y : x \mapsto x + k, (k \in ℝ)$ هو العام لهذه المعادلة.

II)- المعادلة التفاضلية $y^{'} = a x + b$

تعريف

ليكن $a$ و $b$ عددين حقيقيين.

· كل معادلة تفاضلية تكتب على الشكل $y^{'} = a y + b$ تسمى معادلة تفاضلية من الرتبة الأولى بمعاملات ثابتة

· كل دالة عددية $f$ قابلة للاشتقاق على $ℝ$ و تحقق $\forall x \in ℝ, f^{'} (x) = a f (x) + b$ تسمى حلا لها.

· حل المعادلة التفاضلية $y^{'} = a y + b$ يعني تحديد جميع الدوال القابلة للاشتقاق على $ℝ$ التي تحقق هذه

المعادلة.

o حل المعادلة التفاضلية $y^{'} = a x$

نشاط

نعتبر المعادلة التفاضلية $(E) : y^{'} = a x$ حيث $a$ عددا حقيقيا.

1)- حل المعادلة $(E)$ في الحالة $a = 0$ .

2)- نفترض أن $a \neq 0$ .

أ- تحقق من أن الدالة $x \mapsto e^{a x}$ حل خاص للمعادلة $(E)$ .

ب- لتكن الدالة $y : x \mapsto y (x)$ حلا للمعادلة $(E)$ . نضع $z : x \mapsto y (x) e^{- a x}$ .

بين أن الدالة $z$ ثابتة.

ج- استنتج الحل العام للمعادلة $(E)$ .

خاصية

ليكن $a$ عددا حقيقيا .

حلول المعادلة التفاضلية $y^{'} = a x$ هي الدوال $y : x \mapsto k e^{a x}$ حيث $k \in ℝ$

ملاحظة

لكل عددين حقيقيين $x_{0}$ و $y_{0}$ ،يوجد حل وحيد $f$ للمعادلة التفاضلية $y^{'} = a y$ يحقق $f (x_{0}) = y_{0}$ .

أمثلة

· حلول المعادلة التفاضلية $y^{'} = 2 y$ هي الدوال $y : x \mapsto k e^{2 x}$ حيث $k \in ℝ$

· الدالة $y_{0} : x \mapsto - 3 e^{2 x}$ حل خاص للمعادلة التفاضلية $y^{'} = 2 y$ .

· حدد الحل الخاص $f$ الذي يحقق الشرط البدئي $f (0) = \sqrt{2}$ .