Suites

I)-عموميات حول المتتاليات العدديةGénéralités sur les suites numériques :

ليكن $n_{0} \in ℕ$ و $I = {n \in ℕ / n \geq n_{0}}$ ، و لتكن ${(u_{n})}_{n \in I}$ متتالية عددية.

1)- المتتالية المكبورة- المتتالية المصغورة $-$ المتتالية المحدودة:

تعاريف

ü المتتالية ${(u_{n})}_{n \in I}$ مكبورة $\exists M \in ℝ / \forall n \in I, u_{n} \leq M \Leftrightarrow$ .

ü المتتالية ${(u_{n})}_{n \in I}$ مصغورة $\exists m \in ℝ / \forall n \in I, u_{n} \geq m \Leftrightarrow$ .

ü المتتالية ${(u_{n})}_{n \in I}$ محدودة $\exists (m, M) \in ℝ^{2} / \forall n \in I, m \leq u_{n} \leq M$ .

مثال

نعتبر المتتالية العددية المعرفة بما يلي: $\forall n \in ℕ, u_{n} = \frac{n + 1}{n + 2}$ .

لدينا: $\forall n \in ℕ, u_{n} \geq 0$ أي أن المتتالية ${(u_{n})}_{n}$ مصغورة بالعدد $0$ .

لدينا: $\forall n \in ℕ, u_{n} \leq 1$ ( لأن $n + 1 \leq n + 2$ ) أي أن المتتالية ${(u_{n})}_{n}$ مكبورة بالعدد $1$ .

و بما أن المتتالية ${(u_{n})}_{n}$ مكبورة و مصغورة فإنها محدودة.

خاصية

المتتالية ${(u_{n})}_{n \in I}$ محدودة $\Leftrightarrow$ $\exists M \in ℝ^{+} / \forall n \in ℕ, | u_{n} | \leq M$ .

مثال

نعتبر المتتالية العددية المعرفة بما يلي: $\forall n \in ℕ, u_{n} = \frac{\sin n}{1 + n^{2}}$ .

لدينا: $\forall n \in ℕ, | u_{n} | \leq \frac{1}{2}$ ،إذن المتتالية ${(u_{n})}_{n}$ محدودة.

3)- رتابة متتالية

خاصية

§ المتتالية ${(u_{n})}_{n \in I}$ تزايدية على التوالي (تناقصية) $u_{n + 1} \geq u_{n} \Leftrightarrow$ على التوالي $(u_{n + 1} \leq u_{n})$

§ المتتالية ${(u_{n})}_{n \in I}$ ثابتة $\forall n \in I, u_{n + 1} = u_{n} \Leftrightarrow$ .

ملاحظة

لتحديد رتابة المتتالية ${(u_{n})}_{n \in I}$ نستعمل إحدى الطرق التالية:

§ دراسة إشارة الفرق $u_{n + 1} - u_{n}$ حيث $n \in I$ .

§ استعمال البرهان بالترجع.

§ مقارنة الخارج $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ مع العدد $1$ حيث $n \in I$ إذا كان لجميع حدود المتتالية نفس الإشارة.

§ دراسة إشارة الفرق $f (x) - x$ في حالة المتتالية من النوع $u_{n + 1} = f (u_{n})$ حيث $n \in I$ .

4)- المتتالية الحسابية:Suite arithmétique

v المتتالية ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ متتالية حسابية إذا وجد عدد حقيقي $r$ بحيث: $\forall n \geq n_{0}, u_{n + 1} - u_{n} = r$ .

o إذا كانت ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ حسابية أساسها $r$ و حدها الأول $u_{n_{0}}$ فإن: $\forall n \geq n_{0}, \forall p \geq n_{0}, u_{n} = u_{p} + (n - p) r$ .

o $S = u_{p} + u_{p + 1} + ... + u_{n} = \frac{(n - p + 1) (u_{p} + u_{n})}{2}$ حيث : $n \geq p \geq n_{0}$

5)- المتتالية الهندسية:Suite géométrique

o المتتالية ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ متتالية هندسية إذا وجد عدد حقيقي $q$ بحيث: $\forall n \geq n_{0}, u_{n + 1} = q u_{n}$ .

o إذا كانت ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ هندسية أساسها $q$ و حدها الأول $u_{n_{0}}$ فإن: $\forall n \geq n_{0}, \forall p \geq n_{0}, u_{n} = u_{p} q^{n - p}$ .

o إذا كانت ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ هندسية أساسها $q$ فإن لكل $n > p \geq n_{0}$ لدينا:

§ $s = u_{p} + u_{p + 1} + ... + u_{n} = (n - p + 1) u_{p}$ ، إذا كان $q = 1$ .

§ $s = u_{p} + u_{p + 1} + ... + u_{n} = u_{p} \frac{(1 - q^{n - p + 1})}{1 - q}$ ، إذا كان $q \neq 1$ .