suites

7)- مصاديق تقارب متتالية : Critères de converge d’une suite numérique

خاصية

لتكن $(u_{n})$ و $(v_{n})$ و $(w_{n})$ متتاليات عددية و $l \in ℝ$ .

Ø إذا كان $v_{n} \leq u_{n} \leq w_{n}$ لكل $n \geq n_{0}$ ، ( $n_{0}$ عدد صحيح طبيعي معلوم ) و $\lim_{x \to + \infty} v_{n} = \lim_{x \to + \infty} w_{n} = l$

فإن المتتالية $(u_{n})$ متقاربة و لدين: $\lim_{x \to + \infty} u_{n} = l$ .

Ø إذا كان $| v_{n} - l | \leq α u_{n}$ لكل $n \geq n_{0}$ ، ( $n_{0}$ عدد صحيح طبيعي معلوم ) و $\lim_{x \to + \infty} u_{n} = 0$ فإن،

المتتالية $(v_{n})$ متقاربة و لدينا: $\lim_{x \to + \infty} v_{n} = l$ ،حيث $α > 0$ .

مثال

لتكن ${(u_{n})}_{n \geq 1}$ المتتالية العددية المعرفة بما يلي: $\forall n \in ℕ^{*}, u_{n} = 1 - \frac{\sin n}{n^{2}}$ .

لدينا: $- 1 \leq - \sin n \leq 1$ و منه : $1 - \frac{1}{n^{2}} \leq u_{n} \leq 1 + \frac{1}{n^{2}}$ لكل $n$ من $ℕ^{*}$ .

و بما أن $\lim_{x \to + \infty} (1 - \frac{1}{n}) = \lim_{x \to + \infty} (1 + \frac{1}{n}) = 1$ فإن ${(u_{n})}_{n \geq 1}$ متقاربة و $\lim_{x \to + \infty} u_{n} = 1$ .

تمرين03

لتكن ${(u_{n})}_{n \geq 1}$ المتتالية العددية المعرفة بما يلي: $\forall n \in ℕ^{*}, u_{n} = \sum_{k = 1}^{k = n} \frac{n}{n^{2} + k}$

1)- بين أن $\forall n \in ℕ^{*}, \frac{n^{2}}{n^{2} + n} \leq u_{n} \leq \frac{n^{2}}{n^{2} + 1}$ .

2)- استنتج أن المتتالية ${(u_{n})}_{n \geq 1}$ متقاربة ، و أن $\lim_{x \to + \infty} u_{n} = 1$ .

8)- تقارب المتتالية $(a^{n})$

خاصية

Ø إذا كان $a > 1$ فإن $\lim_{n \to + \infty} a^{n} = + \infty$ .

Ø إذا كان $a = 1$ فإن $\lim_{n \to + \infty} a^{n} = 1$ .

Ø إذا كان $- 1 < a < 1$ فإن $\lim_{n \to + \infty} a^{n} = 0$ .

Ø إذا كان $a \leq - 1$ فإن $(a^{n})$ لا تقبل نهاية.

برهان

Ø إذا كان $a > 1$ فإن $\lim_{x \to + \infty} a^{n} = + \infty$ .

$a > 1 \Rightarrow \exists α > 0 / a = 1 + α$ و منه $a^{n} > 1 + n α$ و منه $\lim_{n \to + \infty} a^{n} = + \infty$ لأن $\lim_{n \to + \infty} n α = + \infty$

Ø إذا كان $a = 1$ فإن $\forall n \in ℕ, a^{n} = 1$ . و منه $\lim_{n \to + \infty} a^{n} = 1$

Ø إذا كان $- 1 < a < 1$ فإن $\lim_{n \to + \infty} a^{n} = 0$ .

· $a = 0 \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} a^{n} = 0$

· $\Rightarrow 0 < | a | < 1$ $a \neq 0$ و $- 1 < a < 1$

$\Rightarrow \lim_{n \to + \infty} (\frac{1}{{| a |}^{n}}) = + \infty \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} a^{n} = 0$ $\Rightarrow \frac{1}{| a |} > 1$

Ø إذا كان $a \leq - 1$ فإن $(a^{n})$ لا تقبل نهاية ( $\lim_{n \to + \infty} u_{2 n} \neq \lim_{n \to + \infty} u_{2 n + 1}$

أمثلة

أحسب النهايات التالية:

$\lim_{x \to + \infty} {(1 - \sqrt{2})}^{n}$ و $\lim_{x \to + \infty} (\frac{2^{n} - 3^{n}}{2^{n} + 3^{n}})$ و $\lim_{x \to + \infty} (1 + 2 + 2^{2} + ... + 2^{n})$

III)- متتاليات من نوع $v_{n} = f (u_{n})$ و $u_{n + 1} = f (u_{n})$

1)-متتالية من نوع $v_{n} = f (u_{n})$

خاصية

إذا كانت المتتالية ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ متقاربة نهايتها $l$ ، و $f$ دالة متصلة في $l$ فإن المتتالية ${(v_{n})}_{n \geq n_{0}}$

المعرفة بما يلي: $v_{n} = f (u_{n})$ حيث $n \geq n_{0}$ متقاربة و نهايتها هي $f (l)$ .

مثال

· لنحدد نهاية المتتالية $(u_{n})$ المعرفة بما يلي: $\forall n \in ℕ, u_{n} = \sin (\frac{π n^{2}}{1 + 6 n^{2}})$ .

لدينا : $\lim_{x \to + \infty} \frac{π n^{2}}{1 + 6 n^{2}} = \frac{π}{6}$ و بما أن الدالة $x \mapsto \sin x$ متصلة في $\frac{π}{6}$ فإن: $\lim_{x \to + \infty} u_{n} = \sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ .

· لنحدد نهاية المتتالية $(u_{n})$ المعرفة بما يلي: $\forall n \in ℕ, u_{n} = \sqrt{\frac{2 n^{2} + 1}{1 + 6 n^{2}}}$ .

لدينا : $\lim_{x \to + \infty} \frac{2 n^{2} + 1}{1 + 6 n^{2}} = \frac{1}{3}$ و بما أن الدالة $x \mapsto \sqrt{x}$ متصلة في $\frac{1}{3}$ فإن: $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

2)- متتالية من نوع $u_{n + 1} = f (u_{n})$

نشاط

لتكن $(u_{n})$ المتتالية العددية المعرفة بما يلي: $u_{0} = 1$ و $u_{n + 1} = \frac{2 + u_{n}}{u_{n}}$ لكل $n$ من $ℕ$ .

نعتبر الدالة العددية $f$ للمتغير الحقيقي $x$ المعرفة على $ℝ_{+}^{*}$ بما يلي: $f (x) = \frac{2 + x}{x}$

1)- أ- أدرس تغيرات الدالة $f$ و أنشئ منحناها في معلم متعامد ممنظم.

ب- تظنن مبيانيا سلوك المتتالية $(u_{n})$ .

2)- نضع : $v_{n} = \frac{u_{n} - 2}{u_{n} + 1}$ ، لكل $n$ من $ℕ$ .

أ- بين أن $(v_{n})$ متتالية هندسية ثم أكتب $v_{n}$ بدلالة $n$ .

ب- حدد $u_{n}$ بدلالة $n$ ، و استنتج $\lim_{x \to + \infty} u_{n}$

خاصية

لتكن $f$ دالة عددية متصلة على مجال $I$ من $ℝ$ بحيث $f (I) \subset I$ ،

و لتكن $(u_{n})$ متتالية عددية معرفة بالعلاقة الترجعية $u_{n + 1} = f (u_{n})$ و $u_{0} \in I$

إذا كانت $(u_{n})$ متقاربة و $l \in I$ فإن نهايتها حل للمعادلة $f (x) = x$ .

برهان

نفترض أن المتتالية $(u_{n})$ متقاربة و $\lim_{x \to + \infty} u_{n} = l$ .

لدينا $f$ متصلة في $l$ إذن: $(\forall ε > 0) (\exists α > 0) (\forall x \in I) (| x - l | < α \Rightarrow | f (x) - f (l) | < ε)$ : $(1)$

و لدينا: $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = l$ إذن: $\exists N \in ℕ / \forall n \geq N, | u_{n} - l | < α$ : $(2)$

· نبين بالترجع أن $\forall n \in ℕ, u_{n} \in I$ .

· من $(2)$ نحصل على $\exists N \in ℕ / \forall n \geq N, | u_{n} - l | < α$

· من $(1)$ نحصل على $\forall ε > 0, \exists N \in ℕ / \forall n \geq N, | f (u_{n}) - f (l) | < ε$

و بالتالي $\lim_{x \to + \infty} f (u_{n}) = f (l)$ .

· و لدينا $u_{n + 1} = f (u_{n})$ إذن $\lim_{n \to + \infty} u_{n + 1} = \lim_{n \to + \infty} f (u_{n})$ أي $f (l) = l$ .

و منه $l$ حل للمعادلة $f (x) = x$

مثال1

نعتبر المتتالية ${(u_{n})}_{n}$ المعرفة بما يلي: $u_{0} = \frac{1}{2}$ و $\forall n \in ℕ, u_{n + 1} = \frac{5}{2} u_{n} (1 - u_{n})$ .

1)- مثل مبيانيا الدالة $f$ المعرفة على $ℝ$ بما يلي : $f (x) = \frac{5}{2} x (1 - x)$ .

2)- نعتبر المجال $I = [\frac{1}{2}, \frac{5}{2}]$ .

أ- بين أن $u_{0} \in I$ و أن $f (I) \subset I$ .

ب- بين أن المتتالية ${(u_{n})}_{n}$ متقاربة و استنتج نهاية المتتالية ${(u_{n})}_{n}$ .