suite

II)- نهاية متتالية عددية

1)- نهاية لا منتهية لمتتالية Limite infinie d’une suite

نشاط01

نعتبر المتتالية العددية ${(u_{n})}_{n}$ المعرفة بما يلي: $\forall n \in ℕ, u_{n} = 2 n + 1$ .

1) $-$ أحسب الحدود التالية: $u_{1}$ و $u_{9}$ $u_{10}$ و $u_{99}$ و $u_{100}$ .

2) $-$ أ- تحقق من أنه إذا كان $n \geq 50$ فإن $u_{n} \in] 100, + \infty [$ .

ب- ليكن $A > 0$ . تحقق من أنه إذا كان $n \geq E (\frac{A - 1}{2}) + 1$ فإن $u_{n} \in] A, + \infty [$ .

ج- استنتج أن كل مجال $] A, + \infty [$ يحتوي على جميع حدود المتتالية ${(u_{n})}_{n}$ ابتداء من رتبة معينة.

نقول إن نهاية المتتالية ${(u_{n})}_{n}$ تؤول إلى $+ \infty$ عندما يؤول $n$ إلى $+ \infty$ و نكتب $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$

تعريف

لتكن ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ متتالية عددية .

Ø نقول إن نهاية المتتالية العددية ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ عندما يؤول $n$ إلى $+ \infty$ هي $+ \infty$ إذا كان كل مجال من النوع $] A, + \infty [$ يحتوي على جميع حدود المتتالية ابتداء من رتبة معينة ، و نكتب $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$ .

§ و بتعبير آخر: $\forall A > 0, \exists N \in ℕ / \forall n \geq N, u_{n} > A$ $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty \Leftrightarrow$

Ø نقول إن نهاية المتتالية العددية ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ عندما يؤول $n$ إلى $+ \infty$ هي $- \infty$ إذا كان كل مجال من النوع $] - \infty, A [$ يحتوي على جميع حدود المتتالية ابتداء من رتبة معينة ، و نكتب $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = - \infty$ .

§ و بتعبير آخر: $\forall A > 0, \exists N \in ℕ / \forall n \geq N, u_{n} < - A$ $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = - \infty \Leftrightarrow$

أمثلة

v باستعمال التعريف، بين أن $\lim_{x \to + \infty} (n^{2}) = + \infty$ و $\lim_{x \to + \infty} (1 - 3 n) = - \infty$

متتاليات مرجعية: Suites de références

Ø المتتاليات العددية التالية: ${(n)}_{n}$ و ${(n^{2})}_{n}$ و ${(n^{3})}_{n}$ ... ${(n^{p})}_{n}$ ،

حيث $p \in ℕ^{*}$ متتاليات عددية تؤول إلى $+ \infty$ عندما يؤول $n$ إلى $+ \infty$ .

ملاحظة

Ø إذا كانت $u_{n} = f (n)$ حيث $f$ دالة عددية معرفة على مجال من نوع $[a, + \infty [$ ، و إذا كانت

$\lim_{x \to + \infty} f (x) = l$ ( حيث $l \in ℝ$ أو $l = + \infty$ أو $l = - \infty$ ) فإن: $\lim_{x \to + \infty} u_{n} = l$ .

تمرين

أحسب نهاية المتتالية العددية $(u_{n})$ المعرفة بحدها العام في الحالات التالية:

$u_{n} = - 2 n^{3} + 3 n - 1$ و $u_{n} = \frac{n + 1}{n^{3} + n + 1}$ و $u_{n} = \frac{2 n^{2} + 1}{n^{2} - 1}$ و $u_{n} = \sqrt[]{n^{3} + 1} - n$

خاصية

لتكن $(u_{n})$ و $(v_{n})$ متتاليتين عدديتين و $α$ عددا حقيقيا موجبا قطعا.

Ø إذا كان $v_{n} \geq α u_{n}$ لكل $n \geq n_{0}$ ،( $n_{0}$ عدد صحيح طبيعي معلوم ) و $\lim_{x \to + \infty} u_{n} = + \infty$ فإن $\lim_{x \to + \infty} v_{n} = + \infty$

Ø إذا كان $v_{n} \leq α u_{n}$ لكل $n \geq n_{0}$ ،( $n_{0}$ عدد صحيح طبيعي معلوم ) و $\lim_{x \to + \infty} u_{n} = - \infty$ فإن $\lim_{x \to + \infty} v_{n} = - \infty$

برهان

مثال

لتكن ${(u_{n})}_{n \geq 1}$ المتتالية العددية المعرفة بما يلي: $\forall n \in ℕ^{*}, u_{n} = - 2 n + 3 \sin \frac{2 π}{n}$ .

لدينا : $\forall n \in ℕ^{*}, u_{n} \leq - 2 n + 3$ ( لأن $\sin \frac{2 π}{n} \leq 1$ ) .

و بما أن $\lim_{x \to + \infty} - 2 n + 3 = - \infty$ فإن المتتالية $(u_{n})$ متباعدة و $\lim_{x \to + \infty} u_{n} = - \infty$ .

تمرين

لتكن $(u_{n})$ المتتالية العددية المعرفة بما يلي: $u_{0} = 0$ و $\forall n \in ℕ, u_{n + 1} = 1 + \sqrt{1 + u_{n}^{2}}$ .

1)- بين أن : $\forall n \in ℕ^{*}, u_{n} > 1$ .

2)- بين أن المتتالية $(u_{n})$ تزايدية.

1) $-$ بين أن $\forall n \in ℕ, u_{n} \geq n$ ، ثم استنتج $\lim_{x \to + \infty} u_{n}$ .

خاصية

ليكن $q$ عددا حقيقيا.

v إذا كان $q > 1$ فإن: $\lim_{n \to + \infty} q^{n} = + \infty$

v إذا كان $p \in ℕ^{*}$ فإن $\lim_{n \to + \infty} n^{p} = + \infty$

برهان-أمثلة

2 )- نهاية منتهية لمتتالية عددية Limite finie d’une suite

نشاط

نعتبر المتتالية العددية ${(u_{n})}_{n > 0}$ المعرفة بما يلي: $\forall n \in ℕ^{*}, u_{n} = 1 + \frac{{(- 1)}^{n}}{n}$ .

1) $-$ أحسب الحدود $u_{1}$ و $u_{9}$ $u_{10}$ و $u_{99}$ و $u_{100}$ .

2) $-$ أ- تحقق من أنه إذا كان $n \geq 10$ فإن $u_{n} \in] 1 - \frac{1}{10},1 + \frac{1}{10} [$ .

ب- ليكن $ε > 0$ . بين أنه إذا كان $n \geq N = E (\frac{1}{ε}) + 1$ فإن $u_{n} \in] 1 - ε,1 + ε [$ .

ج- استنتج أن كل مجال مفتوح مركزه $1$ يحتوي على جميع حدود المتتالية ابتداء من رتبة معينة.

نقول إن نهاية المتتالية ${(u_{n})}_{n > 0}$ تؤول إلى $1$ عندما يؤول $n$ إلى $+ \infty$ و نكتب $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 1$

تعريف

v نقول إن نهاية المتتالية العددية ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ عندما يؤول $n$ إلى $+ \infty$ هي العدد الحقيقي $l$ إذا كان

كل مجال مفتوح مركزه $l$ يحتوي على جميع حدود المتتالية ابتداء من رتبة معينة ، و نكتب $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = l$

و بتعبير آخر : $\forall ε > 0, \exists N \in ℕ / \forall n \geq N, | u_{n} - l | < ε$ $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = l \Leftrightarrow$

أمثلة

v باستعمال التعريف، بين أن $\lim_{x \to + \infty} (\frac{1}{n^{2}}) = 0$ و $\lim_{n \to + \infty} (\frac{2 n - 1}{n + 1}) = 2$

متتاليات مرجعية: Suites de références

Ø المتتاليات العددية التالية: ${(\frac{1}{n})}_{n > 0}$ و ${(\frac{1}{n^{2}})}_{n > 0}$ و ${(\frac{1}{n^{3}})}_{n > 0}$ ... ${(\frac{1}{n^{p}})}_{n > 0}$

حيث $p \in ℕ^{*}$ متتاليات تؤول إلى الصفر عندما يؤول $n$ إلى $+ \infty$ .

3)-تقارب متتالية عددية Convergence d’une suite numérique

تعريف

لتكن ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ متتالية عددية .

Ø نقول إن المتتالية ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ متقاربة ( Convergente ) إذا كانت تقبل نهاية منتهية.

Ø نقول إن المتتالية ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ متباعدة إذا كانت $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = \pm \infty$ أو المتتالية ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ لا تقبل نهاية .

أمثلة

Ø المتتالية $(u_{n})$ المعرفة بحدها العام $u_{n} = 1 + \frac{1}{n^{2} + 1}$ متقاربة و لدينا : $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 1$ .

Ø المتتالية $(u_{n})$ المعرفة بحدها العام $u_{n} = 2 n^{2}$ متباعدة و لدينا: $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$ .

Ø المتتالية $(u_{n})$ المعرفة بحدها العام $u_{n} = {(- 1)}^{n}$ متباعدة و لا تقبل نهاية.

خاصية

إذا كانت متتالية عددية ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ متقاربة ،فإن نهايتها وحيدة.

برهان

لتكن $(u_{n})$ متتالية متقاربة بحيث $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = l$ و $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = l^{'}$ و $l^{'} < l$ و ليكن $ε = \frac{l - l^{'}}{2}$

$\exists N_{1} \in ℕ / \forall n \geq N_{1}, u_{n} \in] l - ε, l + ε [=] \frac{l - l^{'}}{2}, \frac{l + l^{'}}{2} [$ $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = l \Rightarrow$

$\exists N_{2} \in ℕ / \forall n \geq N_{2}, u_{n} \in] l^{'} - ε, l^{'} + ε [=] \frac{l + l^{'}}{2}, \frac{3 l - l^{'}}{2} [$ $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = l^{'} \Rightarrow$

نضع $N = \sup (N_{1}, N_{2})$ : $\forall n \geq N, u_{n} \in] \frac{l - l^{'}}{2}, \frac{l + l^{'}}{2} [$ و $\forall n \geq N, u_{n} \in] \frac{l + l^{'}}{2}, \frac{3 l - l^{'}}{2} [$

و منه $\forall n \geq N, u_{n} \in] \frac{l + l^{'}}{2}, \frac{3 l - l^{'}}{2} [\cap] \frac{l - l^{'}}{2}, \frac{l + l^{'}}{2} [= \emptyset$ و هذا غير ممكن،ومنه $l^{'} = l$

خاصية

Ø إذا كانت متتالية عددية $(u_{n})$ متقاربة ،فإنها محدودة.

أي: $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = l \Rightarrow \exists M \in ℝ / \forall n \in ℕ, | u_{n} | \leq M$

برهان

لدينا $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = l$ إذن من اجل $ε = \frac{1}{2}$ ، $\exists N \in ℕ / \forall n \geq N, u_{n} \in] l - \frac{1}{2}, l + \frac{1}{2} [$

نضع $A = {| u_{0} |, | u_{1} |,....., | u_{N - 1} |, | l - \frac{1}{2} |, | l + \frac{1}{2} |}$ و ليكن $M = \max A$

لدينا $\forall n \in ℕ, | u_{n} | \leq M$ و منه $(u_{n})$ محدودة.