ليكن $M$ و $N$ لبوسي مكثف سعته $C$ غير مشحون بدئيا .

نشحن المكثف تحت توتر مستمر $U_{MN}=U_0$ ثم نغلق الدارة لتفريغ المكثف في الموصل الأومي،

لتكن $q_0$ شحنة المكثف في اللحظة $t_0=0$ و $i_0$ شدة التيار في الدارة عند هذه اللحظة، و لتكن $q$ شحنة

اللبوس $M$ و $i$ شدة التيار.

 1)- حدد معادلة تفاضلية لهذه الدارة .

 2)- استنتج المعادلة الزمنية للشحنة $q$.

تطبيق عددي : $C=0.5F$ و $R=100\Omega$ و $q_0=6c$.

نعتبر المعادلة التفاضلية $\left(E\right):y^{\prime }=ay+b$ حيث $a$ و $b$ عددين حقيقيين. $a\ne 0$

1)- بين أن $\left(E\right)\iff {\left(y+\frac{b}{a}\right)}^{\prime }=a\left(y+\frac{b}{a}\right)$.

2)- استنتج الحل العام للمعادلة $\left(E\right)$.

ليكن $a$ و $b$ عددين حقيقيين، و $a\ne 0$.

 حلول المعادلة التفاضلية $y^{\prime }=ay+b$ هي الدوال $y:x\mapsto k{e}^{ax}-\frac{b}{a}$ حيث $k\in ℝ$   

·        حلول المعادلة التفاضلية $y^{\prime }=-2y+1$ هي الدوال $y:x\mapsto k{e}^{-2x}+\frac{1}{2}$ حيث $k\in ℝ$   

·        الدالة $y_0:x\mapsto -3e^{-2x}+\frac{1}{2}$ حل خاص للمعادلة التفاضلية $y^{\prime }=-2y+1$.

ليكن $a$ و $b$ عددين حقيقيين، حيث $a\in {ℝ}^{\ast }$.

 لكل عددين حقيقيين $x_0$ و $y_0$ ،المعادلة التفاضلية $y^{\prime }=ay+b$ تقبل حلا وحيدا $f$ يحقق $f\left(x_0\right)=y_0$ .

           ليكن $a$ و $b$ عددين حقيقيين.

·        كل معادلة تفاضلية تكتب على الشكل $y^{″}+a{y}^{\prime }+by=0$ تسمى معادلة تفاضلية من الرتبة الثانية

 بمعاملات ثابتة.

·        كل دالة عددية $f$ قابلة للاشتقاق على $ℝ$ مرتين و تحقق $\forall x\in ℝ,f^{″}\left(x\right)+a{f}^{\prime }\left(x\right)+bf\left(x\right)=0$ 

تسمى حلا للمعادلة التفاضلية $y^{″}+a{y}^{\prime }+by=0$.

§        حل المعادلة التفاضلية $y^{″}+a{y}^{\prime }+by=0$ يعني تحديد جميع الدوال القابلة للاشتقاق على $ℝ$ مرتين

التي تحقق هذه المعادلة .

نعتبر المعادلة التفاضلية $y^{″}+a{y}^{\prime }+by=0$ حيث $a$ و $b$ عددان حقيقيان.

·        المعادلة $r^2+ar+b=0$ تسمى المعادلة المميزة للمعادلة التفاضلية $y^{″}+a{y}^{\prime }+by=0$

نعتبر المعادلة التفاضلية $\left(E\right):y^{″}+a{y}^{\prime }+by=0$ حيث $a$ و $b$ عددان حقيقيان،

و $r^2+ar+b=0$ المعادلة المميزة لها.

·        إذا كانت المعادلة المميزة تقبل حلين حقيقيين $r_1$ و $r_2$ فإن حلول المعادلة $\left(E\right)$ هي الدوال:

المعرفة على $ℝ$ بما يلي : $y:x\mapsto \alpha e^{r_{1}x}+\beta e^{r_{2}x}$ حيث $\alpha \in ℝ$ و $\beta \in ℝ$.

·        إذا كانت المعادلة المميزة تقبل حلا مزدوجا $r=r_1=r_2$  فإن حلول المعادلة $\left(E\right)$ هي الدوال:

المعرفة على $ℝ$ بما يلي : $y:x\mapsto \left(\alpha x+\beta \right)e^{rx}$ حيث $\alpha \in ℝ$ و $\beta \in ℝ$.

·        إذا كانت المعادلة المميزة تقبل حلين عقديين مترافقين  $r_1=p+iq$ و $r_2=p-iq$ فإن حلول المعادلة

 $\left(E\right)$ هي الدوال المعرفة على $ℝ$ بما يلي : $y:x\mapsto e^{px}\left(\alpha \cos qx+\beta \sin qx\right)$ حيث $\alpha \in ℝ$ و $\beta \in ℝ$.

أو أيضا $y:x\mapsto k{e}^{px}\cos \left(qx+\phi \right)$ حيث $k\in ℝ$ و $\phi \in ℝ$.

·        حل المعادلات التفاضلية التالية :

$\left(E\right):y^{″}-5y^{\prime }+6y=0$          $\left(F\right):y^{″}+2y^{\prime }+y=0$             $\left(E\right):y^{″}+4y^{\prime }+8y=0$

·        حلول المعادلة التفاضلية $\left(E\right):y^{″}+{\omega }^{2}y=0$ هي الدوال المعرفة على $ℝ$ بما يلي :

$y:x\mapsto \alpha \cos \omega x+\beta \sin \omega x$ حيث $\alpha \in ℝ$ و $\beta \in ℝ$.

أو أيضا $y:x\mapsto k\cos \left(\omega x+\phi \right)$ حيث $k\in ℝ$ و $\phi \in ℝ$.

·        فإن حلول المعادلة $\left(E\right):y^{″}-{\omega }^{2}y=0$ هي الدوال المعرفة على $ℝ$ بما يلي :

 $y:x\mapsto \alpha e^{\omega x}+\beta e^{-\omega x}$ حيث $\alpha \in ℝ$ و $\beta \in ℝ$.

1)- حدد الحل العام للمعادلة التفاضلية $\left(E\right):y^{″}-2\sqrt{2}{y}^{\prime }+2y=0$.

2)- حدد الحل الخاص $f$ للمعادلة التفاضلية $\left(E\right)$ الذي يحقق  $f\left(0\right)=1$ و $f^{\prime }\left(0\right)=0$