III)- جدول الدوال الأصلية لبعض الدوال الاعتيادية

الدالة $f$ معرفة على مجال $I$

الدوال الأصلية ل $f$ على المجال $I$

المجال $I$

$x\mapsto a,\left(a\in ℝ\right)$

$x\mapsto ax+c,\left(c\in ℝ\right)$

$\left]-\infty ,+\infty \right[$

$x\mapsto x^n,\left(n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right)$

$x\mapsto \frac{1}{n+1}{x}^{n+1}+c,\left(c\in ℝ\right)$

$\left]-\infty ,+\infty \right[$

$x\mapsto \frac{1}{x^n},\left(n\in {\mathbb{N}}^{\ast }-\left\{1\right\}\right)$

$x\mapsto \frac{1}{-n+1}{x}^{-n+1}+c,\left(c\in ℝ\right)$

$\left]\mathrm{0,}+\infty \right[$ أو $\left]-\infty \mathrm{,0}\right[$

$x\mapsto \frac{1}{\sqrt{x}}$

$x\mapsto 2\sqrt{x}+c,\left(c\in ℝ\right)$

$\left]\mathrm{0,}+\infty \right[$

$x\mapsto x^r,\left(r\in {\mathbb{Q}}^{\ast }-\left\{-1\right\}\right)$

$x\mapsto \frac{1}{r+1}{x}^{r+1}+c,\left(c\in ℝ\right)$

$\left]\mathrm{0,}+\infty \right[$

$x\mapsto \sin \left(ax+b\right),a\ne 0$

$x\mapsto -\frac{1}{a}\cos x+c,\left(c\in ℝ\right)$

$\left]-\infty ,+\infty \right[$

$x\mapsto \cos \left(ax+b\right),a\ne 0$

$x\mapsto \frac{1}{a}\sin x+c,\left(c\in ℝ\right)$

$\left]-\infty ,+\infty \right[$

$x\mapsto 1+{\tan }^{2}x$

$x\mapsto \tan x+c,\left(c\in ℝ\right)$

$\left]-\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi \right[,k\in \mathbb{Z}$

$x\mapsto \frac{1}{1+x^2}$

$x\mapsto Arc\tan x+c,\left(c\in ℝ\right)$

$\left]-\infty ,+\infty \right[$

$x\mapsto u\text{'}\left(x\right){\left(u\left(x\right)\right)}^n,\left(n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right)$

$x\mapsto \frac{1}{n+1}{u}^{n+1}\left(x\right)+c,\left(c\in ℝ\right)$

$u$ لا تنعدم على $I$

$u$ موجبة قطعا على $I$

$u$ موجبة قطعا على $I$

$x\mapsto \frac{u\text{'}\left(x\right)}{u^2\left(x\right)}$

$x\mapsto -\frac{1}{u\left(x\right)}+c,\left(c\in ℝ\right)$

$x\mapsto u\text{'}\left(x\right){\left(u\left(x\right)\right)}^r,\left(r\in {\mathbb{Q}}^{\ast }-\left\{-1\right\}\right)$

$x\mapsto \frac{1}{r+1}{\left(u\left(x\right)\right)}^{r+1}+c,\left(c\in ℝ\right)$

$x\mapsto \frac{u\text{'}\left(x\right)}{\sqrt{u\left(x\right)}}$

$x\mapsto 2\sqrt{u\left(x\right)}+c,\left(c\in ℝ\right)$

$x\mapsto u\text{'}\left(x\right)v\left(x\right)+v\text{'}\left(x\right)u\left(x\right)$

$x\mapsto u\left(x\right)v\left(x\right)+c,\left(c\in ℝ\right)$

$x\mapsto \frac{u\text{'}\left(x\right)v\left(x\right)-v\text{'}\left(x\right)u\left(x\right)}{{\left(v\left(x\right)\right)}^2}$

$x\mapsto \frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)}+c,\left(c\in ℝ\right)$

$x\mapsto u\text{'}\left(ax+b\right),a\in {ℝ}^{\ast },b\in ℝ$

$x\mapsto \frac{1}{a}u\left(ax+b\right)+c,\left(c\in ℝ\right)$

$t\mapsto x\mapsto \frac{u^{\prime }\left(x\right)}{1+{\left(u\left(x\right)\right)}^2}$

$x\mapsto Arc\tan \left(u\left(x\right)\right)+c,\left(c\in ℝ\right)$

    نعتبر الدالة العددية $f$ المعرفة على $ℝ$ بما يلي: $f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}\sqrt[3]{x^2}+x-\mathrm{4,}x\le 1\\ x\sqrt[4]{x}-\mathrm{3,}x>1\end{array}$.

1)     $–$ بين أن الدالة $f$ تقبل دوال أصلية على $ℝ$.

2)     $–$ حدد الدول الأصلية للدالة $f$ على $ℝ$.

3)     $–$ حدد الدالة الأصلية $G$ للدالة $f$ على $ℝ$ التي تحقق $G\left(0\right)=0$.

   لتكن $f$ الدالة العددية المعرفة على المجال $\left[\mathrm{0,}\pi \right]$ بما يلي: $f\left(x\right)=x\cos x-\sin x$.

1)     $–$ أحسب $f\text{'}\left(x\right)$ لكل $x$ من $\left[\mathrm{0,}\pi \right]$.

2)     $–$ أ- استنتج الدوال الأصلية للدالة $g$ المعرفة على المجال $\left[\mathrm{0,}\pi \right]$ بما يلي: $g\left(x\right)=x\sin x-\cos x$

 ب- حدد الدالة الأصلية $G$ للدالة $g$ التي تحقق الشرط البدئي $G\left(\pi \right)=0$.

   لتكن $f$ و $g$ الدالتين العدديتين المعرفتين على $\left]\mathrm{0,}\frac{\pi }{2}\right[$ بما يلي: $f\left(x\right)={\tan }^{2}x$ و $g\left(x\right)={\cos }^2\frac{x}{2}$

v      حدد الدوال الأصلية لكل من الدالتين $f$ و $g$ على المجال $\left]\mathrm{0,}\frac{\pi }{2}\right[$ .

         لتكن $f$ الدالة العددية المعرفة على $\left[\mathrm{0,}+\infty \right[$ بما يلي: $f\left(x\right)=\frac{x^2+2x}{{\left(x+1\right)}^2}$.

1)     $–$ حدد العددين الحقيقيين $a$ و $b$ بحيث: $\forall x\in \left[\mathrm{0,}+\infty \right[,f\left(x\right)=a+\frac{b}{{\left(x+1\right)}^2}$.

2)     $–$ استنتج الدوال الأصلية للدالة $f$ على المجال $\left[\mathrm{0,}+\infty \right[$.

3)     $–$ استنتج الدالة الأصلية $F$ للدالة $f$ على المجال $\left[\mathrm{0,}+\infty \right[$ التي تحقق: $F\left(1\right)=\frac{5}{2}$.

      حدد الدوال الأصلية للدالة $f$ المعرفة على المجال $I$ في كل حالة من الحالات التالية:

$I=ℝ,f\left(x\right)=3x^4-3x^2+x-1$                        $I=\left]-\infty ,-1\right[,f\left(x\right)=\frac{x}{\left(x^2-1\right)}$

$f\left(x\right)=x^2{\left(x^3-1\right)}^{\frac{2}{3}}$ $I=\left]\mathrm{1,}+\infty \right[,$                        $I=\left[\mathrm{2,}+\infty \right[,f\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$

$I=\left]\mathrm{0,}+\infty \right[,f\left(x\right)=x^2+x\sqrt[3]{x^2+1}$                   $I=\left]-\infty ,+\infty \right[,f\left(x\right)=\cos x{\sin }^{4}x$

         لتكن $f$ الدالة العددية المعرفة على المجال $\left[\mathrm{1,}+\infty \right[$ بما يلي: $f\left(x\right)=x\sqrt{x-1}$.

1)     $–$ بين أن $\forall x\in \left[\mathrm{1,}+\infty \right[,f\left(x\right)=\sqrt{{\left(x-1\right)}^3}+\sqrt{x-1}$.

2)     $–$ حدد الدوال الأصلية للدالة $f$ على المجال $\left[\mathrm{1,}+\infty \right[$

3)     $–$ استنتج الدالة الأصلية $F$ للدالة $f$ التي تحقق $F\left(1\right)=2$.