لتكن $f$ دالة عددية معرفة على مجال $I$ ضمن $ℝ$.

نسمي دالة أصلية للدالة $f$ على المجال $I$ ، كل دالة $F$ قابلة للاشتقاق على $I$ بحيث $F\text{'}=f$.

     كل دالة متصلة على مجال $I$ تقبل دوال أصلية على $I$.

    لتكن $f$ دالة عددية متصلة على مجال $I$ ، و $F$ دالة أصلية لها على $I$.

الدوال الأصلية للدالة $f$ على $I$ هي الدوال المعرفة على $I$ بما يلي : $\left(k\in ℝ\right),x\mapsto F\left(x\right)+k$.

            لدينا $F$ دالة أصلية للدالة $f$ على مجال $I$.

·        إذا كانت $G$ دالة أصلية للدالة $f$ على $I$ فإن $G$ قابلة للاشتقاق على $I$ ولدينا $G\text{'}=f$ 

   إذن $G\text{'}=F\text{'}$ أي $\left(G-F\right)\text{'}=0$ على $I$ و منه $\exists k\in ℝ/G-F=k$.

أي: $\forall x\in I,G\left(x\right)=F\left(x\right)+k$.

·        عكسيا إذا كانت $G$ دالة معرفة على $I$ بما يلي: $G\left(x\right)=F\left(x\right)+k$ ، حيث $k\in ℝ$ فإن $G$ قابلة

للاشتقاق على المجال $I$ و لدينا $G\text{'}=F\text{'}=f$ ، و منه $G$ دالة أصلية للدالة $f$ على المجال $I$.

    لتكن $f$ دالة عددية متصلة على مجال $I$ ، و $x_0\in I$ و $y_0\in ℝ$.

توجد دالة أصلية وحيدة $G$ للدالة $f$ على $I$ تحقق $G\left(x_0\right)=y_0$.

         لتكن $f$ الدالة العددية المعرفة على $I=\left]\mathrm{0,}+\infty \right[$ بما يلي: $f\left(x\right)=x^3-\frac{1}{x^2}+1$.

1)     $–$ حدد الدوال الأصلية للدالة $f$ على المجال $I$.

2)     $–$ حدد الدالة الأصلية $G$ للدالة $f$ على المجال $I$ التي تحقق $G\left(1\right)=0$.

    لتكن $f$ و $g$ دالتين عدديتين معرفتين على مجال $I$ ، و $k\in ℝ$.

إذا كانت $F$ و $G$ على التوالي دالتين أصليتين للدالتين $f$ و $g$ على $I$ فإن:

Ø      الدالة $F+G$ دالة أصلية للدالة $f+g$ على المجال $I$.

Ø      الدالة $kF$ دالة أصلية للدالة $kf$ على المجال $I$.