dev2-2bsm-11-12

I)- لتكن $g$ الدالة العددية المعرفة على المجال $] - \infty,1 [$ بما يلي:

$g (x) = A r c \tan (\frac{1}{1 - x}) + \frac{x - 1}{1 + {(x - 1)}^{2}}$

(1ن) 1)- أحسب النهايتين: $\lim_{x \to - \infty} g (x)$ و $\lim_{x \to 1^{-}} g (x)$

(1ن) 2)- أدرس تغيرات الدالة $g$ و استنتج أن: $\forall x \in] - \infty,1 [,0 < g (x) < \frac{π}{2}$ .

II)- لتكن $f$ الدالة المعرفة على $ℝ$ بما يلي:

${\begin{cases} f (x) = \sqrt[3]{x - \sqrt{x}}, x \geq 1 \\ f (x) = \frac{1}{π} (x - 1) A r c \tan (\frac{1}{x - 1}), x < 1 \end{cases}$ ، و ليكن $(C_{f})$ منحناها في م.م.م $(O, \vec{i}, \vec{j})$ .

(1ن) 1)-أ- أحسب النهايتين: $\lim_{x \to - \infty} f (x)$ و $\lim_{x \to + \infty} f (x)$ .

(1ن) ب- بين أن الدالة $f$ متصلة في النقطة $1$ .

(1ن) 2)-أ- أدرس قابلية اشتقاق $f$ في $1$ على اليمين ثم أول النتيجة هندسيا.

(1ن) ب- أدرس قابلية اشتقاق $f$ في $1$ على اليسار ثم أول النتيجة هندسيا.

(1ن) 3)-أ- بين أن $f$ تناقصية قطعا على $] - \infty,1]$ و تزايدية قطعا على $[1, + \infty [$ .

(1ن) ب- بين أن المعادلة $f (x) = x$ تقبل حلا وحيدا $α$ في $] - \infty,1 [$ و أن $0 < α < 1$ .

(1ن) 4)-أ- أدرس الفرعين اللانهائيين للمنحنى $(C_{f})$ بجوار كل من $+ \infty$ و $- \infty$ .

(1ن) ب- أنشئ منحنى الدالة $f$ في المعلم $(O, \vec{i}, \vec{j})$ .( نأخذ $‖ \vec{i} ‖ = ‖ \vec{j} ‖ = 2 c m$ ).

III)- لتكن $u$ قصور الدالة $f$ على المجال $I =] 1, + \infty [$ .

(0.5ن) 1)- بين أن الدالة $u$ تقابل من المجال $I$ نحو مجال $J$ ينبغي تحديده.

(0.5ن) 2)- بين أن $u^{- 1}$ قابلة للاشتقاق في $\sqrt[3]{2}$ ، ثم أحسب ${(u^{- 1})}^{'} (\sqrt[3]{2})$ .

(1ن) 3)- حدد $u^{- 1} (x)$ لكل $x$ من المجال $J$ ، و أنشئ في نفس المعلم $(C_{u^{- 1}})$ .

(1ن) 4)- حل في المجال $I =] 1, + \infty [$ ،المعادلة: $u (x) = \sqrt{x - \sqrt{x}}$ .

IV)- نعتبر المتتالية العددية $(u_{n})$ المعرفة بما يلي: $0 \leq u_{0} < α$ و $\forall n \in ℕ, u_{n + 1} = f (u_{n})$ .

نضع: $y_{n} = u_{2 n + 1}$ و $\forall \in ℕ, x_{n} = u_{2 n}$ .

(1ن) 1)-أ- بين أن $f ([0,1]) \subset [0,1]$ و أن $\forall \in ℕ,0 \leq u_{n} \leq 1$ .

(1ن) ب- بين أن $| f (x) - f (y) | \leq \frac{1}{2} | x - y |$ ،لكل $x$ و $y$ من $[0,1]$ .

(0.5ن) 2)-أ- أثبت أن $x_{n + 1} = f \circ f (x_{n})$ و $y_{n + 1} = f \circ f (y_{n})$ $\forall \in ℕ,$ .

(1ن) ب- بين أن $\forall \in ℕ, | x_{n + 1} - y_{n + 1} | \leq \frac{1}{4} | x_{n} - y_{n} |$ .

3)- نفترض أن: $u_{0} = 0$ و نأخذ $u_{1} \approx 0.25$ و $u_{2} \approx 0.22$ و $u_{3} \approx 0.225$ .

(1ن) أ- بين أن المتتالية $(x_{n})$ تزايدية قطعا و المتتالية $(y_{n})$ تناقصية قطعا.

(1.5ن) ب- بين أن $\forall \in ℕ, x_{n} < α < y_{n}$ ،و أن $(x_{n})$ و $(y_{n})$ متحاديتان و حدد نهايتهما.

(1ن) ج- بين أن المتتالية $(u_{n})$ متقاربة محددا نهايتها.