suites

4)- العمليات على النهايات

خاصية

إذا كانت $(u_{n})$ و $(v_{n})$ متتاليتين متقاربتين و $λ \in ℝ$ فإن:

Ø المتتالية $(u_{n} + v_{n})$ متقاربة و $\lim_{n \to + \infty} (u_{n} + v_{n}) = \lim_{n \to + \infty} (u_{n}) + \lim_{n \to + \infty} (v_{n})$

Ø المتتالية $(u_{n} v_{n})$ متقاربة و $\lim_{n \to + \infty} (u_{n} v_{n}) = \lim_{n \to + \infty} (u_{n}) \lim_{n \to + \infty} (v_{n})$ .

Ø المتتالية $(λ u_{n})$ متقاربة و $\lim_{n \to + \infty} (λ u_{n}) = λ \lim_{n \to + \infty} (u_{n})$ .

Ø المتتالية $(\frac{u_{n}}{v_{n}})$ متقاربة و $\lim_{n \to + \infty} (\frac{u_{n}}{v_{n}}) = \frac{\lim_{n \to + \infty} (u_{n})}{\lim_{n \to + \infty} (v_{n})}$ مع $\lim_{n \to + \infty} (v_{n}) \neq 0$

5)- توسيع العمليات على نهاية متتالية

لتكن $(u_{n})$ و $(v_{n})$ متتاليتين عدديتين و $l$ و $l'$ أعدادا حقيقية.

أ)- الجمع

$+ \infty$	$- \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$l$	$l$	$l$	$\lim_{x \to + \infty} u_{n}$
$- \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$l'$	$\lim_{x \to + \infty} v_{n}$
F.I		$- \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$l + l'$	$\lim_{x \to + \infty} (u_{n} + v_{n})$

ب- الضرب

$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$l < 0$	$l < 0$	$l > 0$	$l > 0$	$l$	$\lim_{x \to + \infty} u_{n}$
0		$- \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$l'$	$\lim_{x \to + \infty} v_{n}$
F.I		$- \infty$	$+ \infty$	$+ \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$l l'$	$\lim_{x \to + \infty} (u_{n} v_{n})$

ج- المقلوب

$0^{-}$

$0^{+}$

$- \infty$

$+ \infty$

$l \in ℝ^{*}$

$\lim_{x \to + \infty} v_{n}$

$- \infty$

$+ \infty$

$0^{-}$

$0^{+}$

$\frac{1}{l}$

$\lim_{x \to + \infty} \frac{1}{v_{n}}$

د- الخارج

$\pm \infty$

$0$

$- \infty$ $l < 0$

$+ \infty$ $l > 0$

$- \infty$ $l < 0$

$+ \infty$ $l > 0$

$- \infty$

$+ \infty$

$l$

$\lim_{+ \infty} u_{n}$

$\pm \infty$

$0$

$0^{-}$

$0^{+}$

$l < 0$

$l > 0$

$l < 0$

$l > 0$

$\pm \infty$

$l' \neq 0$

$\lim_{+ \infty} v_{n}$

F.I

$+ \infty$

$- \infty$

$+ \infty$

$- \infty$

$+ \infty$

$0$

$\frac{l}{l'}$

$\lim_{+ \infty} \frac{u_{n}}{v_{n}}$

مثال

لتكن $(u_{n})$ المتتالية العددية المعرفة بما يلي: $\forall n \in ℕ, u_{n} = \sqrt{n} - 2 n$ .

لندرس تقارب المتتالية $(u_{n})$ :

لدينا : $\forall n \in ℕ, u_{n} = \sqrt{n} (1 - 2 \sqrt{n})$ ، و بما أن $\lim_{x \to + \infty} \sqrt{n} = + \infty$ فإن $\lim_{x \to + \infty} u_{n} = - \infty$

إذن المتتالية $(u_{n})$ متباعدة.

تمرين

لتكن ${(u_{n})}_{n \geq 2}$ المتتالية العددية المعرفة بما يلي: $u_{2} = 1$ و $\forall n \in ℕ^{*} - {1}, u_{n + 1} = (1 + \frac{2}{n - 1}) u_{n}$ .

1) $-$ بين بالترجع أن: $\forall n \in ℕ^{*} - {1}, u_{n} = \frac{n (n - 1)}{2}$ .

2) $-$ استنتج أن المتتالية ${(u_{n})}_{n \geq 2}$ متباعدة .

6)- النهايات و الترتيب

خاصية

لتكن $(u_{n})$ و $(v_{n})$ متتاليتين عدديتين متقاربتين بحيث: $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = l$ و $\lim_{n \to + \infty} v_{n} = l'$

Ø إذا كان $u_{n} > 0$ لكل $n \geq n_{0}$ حيث $(n_{0} \in ℕ)$ فإن $l \geq 0$ .

Ø إذا كان $u_{n} > a$ لكل $n \geq n_{0}$ حيث $(n_{0} \in ℕ)$ فإن $l \geq a$ .

Ø إذا كان $u_{n} > v_{n}$ لكل $n \geq n_{0}$ حيث $(n_{0} \in ℕ)$ فإن $l \geq l'$ .

برهان

· نفترض أن $u_{n} > 0$ لكل $n \geq n_{0}$ و $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = l$ بحيث $l < 0$

لدينا $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = l$ إذن من أجل $ε = - \frac{l}{2}$ نحصل على $\exists N_{1} \in ℕ / \forall n \geq N_{1}, u_{n} \in] l - ε, l + ε [=] \frac{3 l}{2}, \frac{l}{2} [$

نضع $N = \sup (n_{0}, N_{1})$ إذن $\forall n \geq N, u_{n} < \frac{l}{2}$ و $u_{n} > 0$ و هذا تناقض.

· نضع $v_{n} = u_{n} - a$ لكل $n \geq n_{0}$ و نحصل على $v_{n} > 0$ لكل $n \geq n_{0}$

· نضع $w_{n} = u_{n} - v_{n}$ لكل $n \geq n_{0}$ و نحصل على $w_{n} > 0$ لكل $n \geq n_{0}$

مثال

لتكن $(u_{n})$ و $(v_{n})$ المتتاليتين العدديتين المعرفتين بما يلي:

$\forall n \in ℕ^{*}, u_{n} = \frac{1}{3} - \frac{1}{n}$ و $\forall n \in ℕ^{*}, v_{n} = \frac{1}{3} + \frac{1}{n}$ .

1) $-$ أ- تحقق من أن $\forall n > 3, u_{n} > 0$ .

ب- أحسب $\lim_{x \to + \infty} u_{n}$ و تحقق من أن $\lim_{x \to + \infty} u_{n} \geq 0$

2) $-$ أ- بين أن $\forall n \in ℕ^{*}, u_{n} < v_{n}$ .

ب- أحسب $\lim_{x \to + \infty} u_{n}$ و $\lim_{x \to + \infty} v_{n}$ و تحقق من أن $\lim_{x \to + \infty} u_{n} = \lim_{x \to + \infty} v_{n}$ .

خاصية(مقبولة)

Ø كل متتالية تزايدية و مكبورة هي متقاربة.

Ø كل متتالية تناقصية و مصغورة هي متقاربة.

ملاحظة

Ø كل متتالية تزايدية و سالبة هي متتالية متقاربة.

Ø كل متتالية تناقصية و موجبة هي متتالية متقاربة.

مثال

لتكن $(u_{n})$ المتتالية العددية المعرفة بما يلي: $\forall n \in ℕ, u_{n} = \sum_{k = 0}^{k = n} \frac{1}{n!}$ .

1) - بين أن : $\forall k \in ℕ {0,1}, k! \geq 2^{k - 1}$ و استنتج أنها مكبورة

2) $-$ أدرس رتابة المتتالية $(u_{n})$ ،واستنتج أنها متقاربة

ملاحظة

الخاصية السابقة تبين فقط أن المتتالية متقاربة و لا تمكن من تحديد نهايتها .

خاصية

لتكن $(u_{n})$ متتالية عددية.

v إذا كانت $(u_{n})$ تزايدية و غير مكبورة فإنها متباعدة و تؤول إلى $+ \infty$

v إذا كانت $(u_{n})$ تناقصية و غير مصغورة فإنها متباعدة و تؤول إلى $- \infty$

برهان

· نفترض أن $(u_{n})$ تزايدية و غير مكبورة

إذن $\forall A > 0, \exists N \in ℕ / u_{N} > A$ ،

و بما أن $(u_{n})$ تزايدية فإن $\forall A > 0, \exists N \in ℕ / \forall n \geq N, u_{n} > A$ و منه $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$

· نفترض أن $(u_{n})$ تناقصية و غير مصغورة.

إذن $(- u_{n})$ تزايدية و غير مكبورة و منه $\lim_{n \to + \infty} - u_{n} = + \infty$ أي $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = - \infty$

تمرين

لتكن $(u_{n})$ المتتالية العددية المعرفة بما يلي: $\forall n \in ℕ, u_{n + 1} = u_{n} + \frac{1}{u_{n}}$ و $u_{0} > 0$ .

· بين أن $\lim_{n \to + \infty} (u_{n}) = + \infty$